miércoles, 18 de mayo de 2011

3.11 Transformada de Laplace de una función periódica.


Funciones periódicas
Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elécticos, la presencia de una fuerza externa periódica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

Teorema [Transformada de una función periódica]

Sea :
una función continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo:
 .
Si

s periódica, con periódo $ T$, entonces

Demostración
Usando la definición


Ejemplo
Calcule $ {\cal L} \{ f(t) \} $, donde $ f(t)$ es la función periódica diente de sierra que se muestra en la figura 1.7.




Figura 1.7





Solución
El periódo de esta función es $ T=2$ y su transformada esta dada por


$\displaystyle {\cal L} \{ f(t) \}$$\displaystyle =$$\displaystyle \frac{1}{1-e^{2s}} \int_0^{2} e^{-st} f(t) dt$
 $\displaystyle =$$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \int_0^1 te^{-st} dy + \int_1^2 (2-t) e^{-st} dt \right)$
 $\displaystyle =$$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \frac{1}{s^2} - \frac{e^{-s}}{s} - \fr... ...-s}}{s^2} + \frac{e^{-s}}{s} - \frac{e^{-s}}{s^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2} \right)$
 $\displaystyle =$$\displaystyle \frac{1}{1-e^{-2s}} \left( \frac{1}{s^2} + \frac{e^{-2s}}{s^2} - \frac{2e^{-s}}{s^2} \right)$
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