3.1 Definición de la transformada de Laplace.

TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada de Laplace y sus propiedades:

1. Contextualizar la transformada de Laplace
2. Definir transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace.
3. Obtener una tabla de transformadas de Laplace para las funciones:
   • l, t, t^2, t^n, t^a
   • e^(at),
   • Cos(wt), Sen(wt), Cosh(wt), Senh(wt)
4. Enunciar e ilustrar el teorema de existencia de la transformada de Laplace.
   Ejercicios? Ir sin regreso
5. Enunciar, y demostrar solamente las 3 primeras de las siguientes propiedades de la transformada:
   1. Linealidad
   2. Traslación sobre el eje s. (1er. Teorema de traslación)
   3. Transformada de la derivada de orden n de una función
   4. Transformada de la Integral de una función.
   5. Derivada de la transformada
      Ejercicios? Ir sin regreso
   6. Integral de la transformada
   7. Transformada de la función escalón
   8. Traslación en el eje t
   9. Transformada de funciones periódicas
   10. Teorema de Convolución
       Ejercicios? Ir sin regreso
6. Obtener la transformada inversa de una función racional por el método de fracciones parciales, sin recurrir al análisis complejo.
   Ejercicios? Ir sin regreso
7. Aplicaciones físicas.
   1. Aplicar el método de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales.
      Ejercicios? Ir sin regreso
   2. Resolver algunos problemas físicos donde se ilustre la conveniencia de emplear la transformada de Laplace, como:
      1. Vibraciones Mecánicos
         Ejercicios? Ir sin regreso
      2. Circuitos eléctricos
         Ejercicios? Ir sin regreso

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What we know is not much. What we do not know is immense.

(Lo que sabemos no es mucho. Lo que no sabemos es inmenso.)

(Allegedly his last words.)
Quoted in A. De Morgan: Budget of Paradoxes.
Pierre Simon Marquéz de Laplace

1. Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la Física que van desde la gravitación, la mecánica de fluídos, el magnetismo y la física atómica.
2. Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa parte de las matemáticas. Como anecdota, el libro inicia con palabras que mas o menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es si no el sentido común reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado, en el cual usa a discreción la transformada de laplace, las funciones generatrices, y muchas otras técnicas no triviales.
3. Tras la Revolución Francesa, el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor posición y un nuevo título.
4. Uno de los defectos principales que se le han atribuido en detrimento de su reputación es la omisión de toda referencia a los descubrimientos de sus predecesores y contemporaneos, dejando entrever que las ideas eran suyas del todo.
5. La ayuda prestada a los jovenes talentos científicos fue un gran acierto; entre esos jovenes se encuentan: el químico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el físico Poisson, y al joven Cauchy, que estaría destinado a convertirse en uno de los artífices principales de las matemáticas del siglo XIX

Algunos Links interesantes sobre Laplace:

1. Universidad de St Andrew, Escocia
2. En Francia

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Contexto
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.
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Definición de la Transformada

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge
Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
   1. De orden exponencial
   2. Continua a trozos

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Definición de la Transformada Inversa

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

si es que acaso

Esta definición obliga a que se cumpla:

y

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Tabla de Transformadas

1. Obtención
   
   
2. Obtención
   
   
3. Obtención
   
   
4. Obtención Para n entero
   :
   
5. Obtención Para
   
   Nota sobre la función Gamma.
6. Obtención Para s > a
   
   
7. Obtención
   
   
8. Obtención
   
9. Obtención
   
10. Obtención
    

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Existencia de la Transformada

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una función cualquiera:

1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo
2. Ser de orden exponencial

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Propiedades de la Transformada

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.
Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications

1. Linealidad (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   
   

   Idea
   La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

   
   Versión para la inversa:
   
2. Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   
   donde
   
   

   Idea
   La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

   Versión para la inversa:
   
   
3. Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )
   

   Idea
   La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

4. Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
   
5. Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )
   
   Siempre y cuando exista
   
   
   
6. Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
   
7. Transformada de la función escalón (Ejemplos,Ir a índice )
   

   Si representa la función escalón unitario entonces
   
   

8. Segundo teorema de Traslación (Ejemplos,Ir a índice )
   
   
   
9. Transformada de una función periódica (Ejemplos,Ir a índice )
   

   Si f(t) es una función periódica con período T:
   

10. Teorema de la Convolución (Ejemplos, Ir a índice)
    

    Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
    

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Técnicas para la Transformada Inversa

1. Separación de Fracciones,ejemplos
2. Primer Teorema de Traslación,ejemplos
3. Fracciones Parciales,ejemplos
4. Segundo Teorema de Traslación,consulte este documento
5. Convolución,ejemplos

Mas ayuda? Ir a una pagina de transformadas inversas
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Método de Solución A ED basado en Laplace

Pasos

1. Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ED
2. Usar las propiedades de la transformada para tener una expresión en L{y(t)}. Esta expresión se conoce como la Ecuacion Característica
3. Aplicar la transformada inversa de Laplace para despejar y(t)

Ejemplos

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Sistemas Masa-Resorte
Ejemplos
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Circuitos RLC
Ejemplos
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DEDUCCIONES DE FÓRMULA

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La razón principal por la cual las demostraciones de las pruebas son incluidas es que hacen uso del teorema de la transformada de la derivada, haciéndolas sencillas y breves.

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde :

Por tanto

Ir a índice
Ir a la tabla de transformadas

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Deduccion de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde y utilizando la obtención 1:

Por tanto

Ir a índice
Ir a la tabla de transformadas

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Deduccion de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde y utilizando la obtención 2 y la linealidad de la transformada:

Por tanto

Ir a índice
Ir a la tabla de transformadas

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Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde y utilizando un razonamiento inductivo:

Por tanto

Ir a índice
Ir a la tabla de transformadas

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Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde:

Por tanto y despejando :


Ir a índice
Ir a la tabla de transformadas

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Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde:

Por otro lado, si ahora utilizamos el mismo teorema de la transformada de la derivada pero usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

Si resolvemos este sistema de ecuaciones simultaneas en y obtenemos las fórmulas deseadas.
Ir a índice
Ir a la tabla de transformadas

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APENDICES

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Apéndice: La Función Escalón Unitario
La función Escalón Unitario en a es la función simbolizada como ó y definida como:
Es decir, es una función que vale 0 y justo en después del instante t=a la función se activa y su valor cambia a uno. El efecto es el de un switch que está abierto y justo en el instante t=a se cierra.
La gráfica de la función escalón queda de la siguiente forma:
La función puede ser combinada para construir funciones seccionadas como se ilustra en los ejemplos.
Ir a índice
Ir a Teorema 7

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Apéndice: Función Periódica
Una función Periódica es una función que se repite. El período de la función es el mínimo intervalo de tiempo donde la función no se repite.
Matemáticamente una función es periodica con período T es una función f(t) que cumple:


Dicho en terminos simples, lo que es o pasa con la función en el intervalo describe o determina totalmente a la función.
Gráficamente una función periódica queda

Ir a índice
Ir al Teorema 9

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Apéndice: Convergencia de una Integral
Una integral del tipo


es una Integral Impropia del tipo I, se dice que ella converge si existe el límite


Es decir se sustituye el infinito por una nueva variable; se calcula la integral definida, y al resultado se le aplica el límite cuando la variable nueva tiende al infinito.
Ir a índice
Ir a la tabla de transformadas

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Apéndice: Continuidad a Pedazos
Para motivos prácticos puede pensar a una función así como una función seccionada continua en cada una de las secciones pero que posiblemente no es continua en los puntos donde se unen dichas secciones. Los problemas que tiene la función son puntos aislados; no intervalos.
Estas funciones tienen graficas similares a:

Ir a índice
Ir a la tabla de transformadas

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Apéndice: Función de Orden Exponencial
Una función f(t) se dice de orden exponencial si acaso existe una constante positiva M y un número T que cumplan:
Lo que establece la condición es que la función f(t) no crece mas rápido que la función exponencial en el intervalo
Ir a índice
Ir a la definición de la transformada

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Apéndice: Función Gama de Euler
Esta función, que es una de las funciones mas importantes de la matemática, se define como:

Para enteros positivos se cumple que:

Por lo que esta función puede ser vista como la generalizcación de la función factorial.
Ir a índice
Ir a la tabla de transformadas

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Apéndice: Convolución entre dos funciones
La convolución entre las funciones f(t) y g(t) es una nueva función de t definida como :

Ir a índice
Ir al teorema 10

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Demostraciones

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Teorema

Sean f(t) y g(t) dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, y a y b dos constantes.
Entonces

Demostración
Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:

Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:
Recordando la definición de la transformada para f(t) y para g(t):

Ir a: índice, Propiedades, Propiedad de Linealidad.

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Teorema

Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, y a una constante.
Entonces para s > a:

Siendo

Demostración
Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:

Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

Agrupando las funciones exponenciales:

Si ahora hacemos el cambio de variable S=s-a lo anterior queda:

Este segundo miembro coincide con la transformada de laplace de la función f(t) en la variable S siempre y cuando S > 0 , es decir siempre que s-a > 0, es decir s > a. Resumiendo

Donde

Si encadenamos esta serie de igualdades

Ir a: índice, Propiedades, Traslación eje s.

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Teorema

Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, cuya derivada también es así.
Entonces

Demostración
Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:

Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

Integrando por partes y tomando:

por tanto:

y la integral anterior nos queda:

Avanzando en los cálculos del segundo miembro:

Asi:
(Ec.I)
Como la función f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial:

y además

Por tanto la ecuación (I) queda:

Y por consiguiente:

Ir a: índice, Propiedades, Transformada de la derivada.

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Ejemplo (video): 



Fuente consultada:

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Sugerencias, comentarios?  euresti@campus.mty.itesm.mx

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#Contexto

http://www.youtube.com/watch?v=Zf_MezY1VKU&feature=related

(1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son