lunes, 2 de mayo de 2011

3.2 Condiciones suficientes de existencia para la Transformada de Laplace

Condición suficiente para la existencia de la transformada de Laplace.

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS:
Decimos que una función es continua a trozos si:
  1. está definida y es continua en todo , salvo en un finito de , para
  2. Para cada los límites :
existen. Note que, solamente de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de .

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del que aparecen en la figura
Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son contínuas o que no son demasiado discontínuas.
Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.

FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL
Decimos que la función     es de orden exponencial si existen números , y tales que :
para  .
Intuitivamente esto significa que la función esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la figura.
Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente límite:
para algún valor de . Si es finito, entonces puede ser cualquier número que (y este determina ). Por otro lado, si , no es de orden exponencial.
Ejemplo

Compruebe que es de orden exponencial.


Solución

Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hôpital :
para cualquier número positivo . Por lo tanto, si es suficientemente grande , y así es de orden exponencial.



Ejemplo
Compruebe que la función es de orden exponencial para cualquier valor de .


Solución

Calculando el límite
siempre y cuando . De donde, para grande.


Observación: no es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado o función trigonométrica como Sen(bt), Cos(bt), con constante, son de orden exponencial, así como, las sumas y productos de un número finito de estas funciones. En general, si y son de orden exponencial la suma y el producto son de orden exponencial.


Ejemplo

Compruebe que la función no es de orden exponencial.


Solución

Calculando el límite tenemos que
para cualquier valor de , con lo cual la función no es de orden exponencial.
El siguiente resultado enuncia un resultado que parece obvio.


FUNCIONES ACOTADAS


Sea     una función acotada, entonces es de orden exponencial.


Demostración
Como es acotada para todo . Entonces :
para cualquier , con lo cual es de orden exponencial.


Observación: como y son acotadas, son de orden exponencial.
Una vez definidos los conceptos de función continua a trozos y función de orden exponencial ya estamos listos para enunciar una condición necesaria para la existencia de la transformada de Laplace.


EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA

Sea     una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe. Es decir, existe un número tal que existe para .


Demostración

Por ser de orden exponencial existen números no negativos , y tales que , para
.

 Así que:









La primera integral es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que


















Ahora, como
siempre y cuando , tenemos que la integral
existe y con ello la transformada.  



Observación: el teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo.

  Ejemplo

Compruebe que la transformada
existe, aún cuando no cumple las hipótesis del teorema de existencia anterior.


Solución
Claramente tiene una discontinuidad infinita en , con lo cual no es continua a trozos en el intervalo ; pero ;


Para calcular esta última integral sea
con lo cual
Ahora note que


Donde es el cuadrado de lado , que se muestra en la figura. Observe que si y son las regiones que se muestran en la figura entonces:
Con lo cual, tomando el límite
Y así, . Por lo tanto
El siguiente ejemplo muestra una función para la cual no existe la transformada de Laplace.


 Ejemplo

Compruebe que no existe.

Solución
Usando la definición

Y puesto que la integral impropia
diverge, la transformada no existe.

Observación: la otra integral
es convergente para , pues
La integral
diverge, pues, por el criterio de comparación
para toda , con lo cual ambas integrales convergen o divergen; pero
diverge.

Así como hay tablas de integrales para facilitar la solución de problemas de integración, utilizaremos las tablas de transformadas de Laplace para agilizar la solución de problemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, que en el tema anterior resolvimos por el método de coeficientes indeterminados. A continuación se presentan las transformadas de Laplace más comunes que utilizaremos, en la solución de problemas algebraicos y en los problemas de aplicación.


TRANSFORMADAS DE LAPLACE      
Ahora vamos a enunciar algunas propiedades de la transformada.

A ) Linealidad de la transformada
Si y existen entonces:
para cualquier constante real.


Demostración

Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.


Ejemplo
Calcule .

Solución
Como por la propiedad de linealidad
















Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada.


B ) Transformada de una derivada

Si es contínua a trozos y de orden exponencial en el intervalo , entonces:


Demostración

Integrando por partes




 









Con un argumento similar podemos demostrar que










Ejemplo
Use el resultado anterior para calcular
SoluciónHaciendo , tenemos que
y de aquí concluimos que :







El siguiente resultado generaliza la transformada de una derivada.


Transformada de una derivada generalizada

Si son continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo , entonces :








El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la escalación de una función .


C ) Propiedad de cambio de escala

Sea una función continua a trozos y de orden exponencial en , si entonces:

Demostración
Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable,



 








Ejemplo
Si :
calcule .


Solución

Usando la propiedad de escalamiento













Teoremas de traslación

No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular , es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.
Si conocemos que , podemos calcular la transformada de como una traslación, de a , como lo enuncia el siguiente teorema


Primer teorema de traslación

Si es un número real y existe, entonces
Donde

Ejemplo

Calcule

Solución
Usando el primer teorema de traslación













Segundo teorema de traslación
Si y , entonces

Demostración
Usando la definición



























Ejemplo

Calcule

Solución
Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar a









Como lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces es necesario sumar y restar algunos términos con la idea de poder usar el segundo teorema de traslación. Pero existe una forma alternativa que nos evita el tener que hacer esto.


Forma alternativa al segundo teorema de traslación
Sea     una función continua a trozos y de orden exponencial en , entonces

Demostración

Usando la definición
















Ejemplo
Calcule

Solución

Usando la forma alternativa del segundo teorema de traslación










Teorema  Multiplicación por
Sea     una función continua a trozos y de orden exponencial en , entonces
Ejemplo
Calcule

Solución

Aplicando el teorema anterior para , tenemos que



 








El siguiente ejemplo muestra una combinación del primer teorema de traslación y el teorema anterior.

Ejemplo
Calcule

Solución

Primero aplicamos el teorema de multiplicación por y luego el de traslación















Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral


Solución

Por el teorema de multiplicación por , tenemos que



 









De donde obtenemos que
y tomando

Teorema División por
Sea     una función continua a trozos y de orden exponencial en tal que el límite
existe, entonces

Demostración
Sea
entonces aplicando transformada de Laplace a ambos lados tenemos que
Integrando
es decir,
Observación: la constante de integración debe escogerse de forma de tal que .
El siguiente ejemplo muestra una aplicación de este teorema.
Ejemplo
Calcule

Solución

Tenemos que
con lo cual



 








Ejemplo
Calcule el valor de la siguiente integral

Solución
Si
entonces













De donde
y tomando el límite cuando , tenemos que


BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA:

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