Domi Sinto: 3.2 Condiciones suficientes de existencia para la Transformada de Laplace

Condición suficiente para la existencia de la transformada de Laplace.

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

FUNCIONES CONTINUAS A TROZOS:

Decimos que una

función es continua a trozos si:

está definida y es continua en todo , salvo en un número finito de puntos , para
Para cada los límites :

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos

implica que las únicas discontinuidades de

son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi contínuas o que no son demasiado discontínuas.

Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.

FUNCIONES DE ORDEN EXPONENCIAL

Decimos que la función

es de orden exponencial si existen números

tales que :

para

Intuitivamente esto significa que la función

esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la figura.

Observación: algunas veces, para verificar que una función

es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente límite:

para algún valor de

. Si

es finito, entonces

puede ser cualquier número mayor que

(y este determina

). Por otro lado, si

no es de orden exponencial.

Ejemplo

Compruebe que

es de orden exponencial.

Solución

Para comprobar esto, apliquemos tres veces la regla de L'Hôpital :

para cualquier número positivo

. Por lo tanto, si

es suficientemente grande

, y así

es de orden exponencial.

Ejemplo

Compruebe que la función

es de orden exponencial para cualquier valor de

Solución

Calculando el límite

siempre y cuando

. De donde,

para

grande.

Observación: no es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado

o función trigonométrica como Sen(bt), Cos(bt), con

constante, son de orden exponencial, así como, las sumas y productos de un número finito de estas funciones. En general, si

son de orden exponencial la suma

y el producto

son de orden exponencial.

Ejemplo

Compruebe que la función

no es de orden exponencial.

Solución

Calculando el límite tenemos que

para cualquier valor de

, con lo cual la función

no es de orden exponencial.

El siguiente resultado enuncia un resultado que parece obvio.

FUNCIONES ACOTADAS

Sea

una función acotada, entonces es de orden exponencial.

Demostración

Como

es acotada

para todo

. Entonces :

para cualquier

, con lo cual

es de orden exponencial.

Observación: como

son acotadas, son de orden exponencial.

Una vez definidos los conceptos de función continua a trozos y función de orden exponencial ya estamos listos para enunciar una condición necesaria para la existencia de la transformada de Laplace.

EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA

Sea

una función continua a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de

existe. Es decir, existe un número

tal que

existe para

Demostración

Por ser

de orden exponencial existen números no negativos

tales que

, para

Así que:

La primera integral es una integral definida, por tanto existe. Para la segunda integral note que

Ahora, como

siempre y cuando

, tenemos que la integral

existe y con ello la transformada.

Observación: el teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función

que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Compruebe que la transformada

existe, aún cuando

no cumple las hipótesis del teorema de existencia anterior.

Solución

Claramente

tiene una discontinuidad infinita en

, con lo cual no es continua a trozos en el intervalo

; pero ;

Para calcular esta última integral sea

con lo cual

Ahora note que

Donde

es el cuadrado de lado

, que se muestra en la figura. Observe que si

son las regiones que se muestran en la figura entonces:

Con lo cual, tomando el límite

Y así,

. Por lo tanto

El siguiente ejemplo muestra una función para la cual no existe la transformada de Laplace.

Ejemplo

Compruebe que no existe.

Solución

Usando la definición

Y puesto que la integral impropia

diverge, la transformada no existe.

Observación: la otra integral

es convergente para

, pues

La integral

diverge, pues, por el criterio de comparación

para toda

, con lo cual ambas integrales convergen o divergen; pero

diverge.

Así como hay tablas de integrales para facilitar la solución de problemas de integración, utilizaremos las tablas de transformadas de Laplace para agilizar la solución de problemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, que en el tema anterior resolvimos por el método de coeficientes indeterminados. A continuación se presentan las transformadas de Laplace más comunes que utilizaremos, en la solución de problemas algebraicos y en los problemas de aplicación.

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Ahora vamos a enunciar algunas propiedades de la transformada.

A ) Linealidad de la transformada

existen entonces:

para cualquier constante real.

Demostración

Es una consecuencia directa de la convergencia de la suma en integrales impropias.

Ejemplo

Calcule

Solución

Como

por la propiedad de linealidad

Con la idea de aplicar la transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales necesitamos calcular la transformada de una derivada.

B ) Transformada de una derivada

es contínua a trozos y de orden exponencial en el intervalo

, entonces:

Demostración

Integrando por partes

Con un argumento similar podemos demostrar que

Ejemplo

Use el resultado anterior para calcular

SoluciónHaciendo

, tenemos que

y de aquí concluimos que :

El siguiente resultado generaliza la transformada de una derivada.

Transformada de una derivada generalizada

son continuas a trozos y de orden exponencial en el intervalo

, entonces :

El siguiente teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la escalación de una función

C ) Propiedad de cambio de escala

Sea

una función continua a trozos y de orden exponencial en

, si

entonces:

Demostración

Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable,

Ejemplo
Si

calcule

Solución

Usando la propiedad de escalamiento

Teoremas de traslación

No es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular

, es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.

Si conocemos que

, podemos calcular la transformada de

como una traslación, de

, como lo enuncia el siguiente teorema

Primer teorema de traslación

es un número real y

existe, entonces

Donde

Ejemplo

Calcule

Solución

Usando el primer teorema de traslación

Segundo teorema de traslación

, entonces

Demostración

Usando la definición

Ejemplo

Calcule

Solución
Para poder usar el segundo teorema de traslación debemos completar

Como lo muestran los ejemplos anteriores algunas veces es necesario sumar y restar algunos términos con la idea de poder usar el segundo teorema de traslación. Pero existe una forma alternativa que nos evita el tener que hacer esto.

Forma alternativa al segundo teorema de traslación

Sea

una función continua a trozos y de orden exponencial en

, entonces